继续探讨前两期几何计算题，详解角平分线变型及算法

我们持续深入讨论之前两期所涉及的几何计算问题，并来审视一下关于角平分线的不同题型。具体题目如下：

图1

在角B的角平分线上，它与角B的对边相交于点D，接下来需要计算线段AD和BD的长度。下面将介绍一种几何方法来解决这个问题。

根据角平分线定理，在问题图中有下面的结论：

图2

文字描述中，可以表述为：三角形的角平分线将相对的边与该角的两边形成比例关系。

而AB和BC及AC都是已知数，所以容易计算AD和CD的值。

图3

算法的原理见下图：

图4

那么如何计算BD的值呢？有一个漂亮的库斯顿定理可以秒杀。

图5

库斯顿，一位来自荷兰的数学家，他的定理被引用。将已知条件与第一问的解答相结合，进行以下计算：

图6

在前两期内容中，我们已经对解析法进行了详尽的阐述，依照常规流程，本期我们将继续深入探讨本题的解析几何解题方法。

首先，我们需阐述解析几何的核心基础概念：即有向线段定比分点坐标的计算公式。

点P作为有向线段P₁P₂的特定分点，将线段等分为两个部分，这两部分的比例关系由希腊字母λ来表征。线段的起始端为P₁，而终止端为P₂，而P点则是该线段的分点。关于这三个点的坐标和相应的公式，可以参考下方的图表。

图7

这是一个至关重要的公式，同时也是我们解题时不可或缺的工具。其中，它包含一个特殊的形式，即中点坐标的计算方法。

图8

若P点位于线段正中央，则λ的值自然等于1，此时，分点坐标的计算公式（公式1）便会简化成我们所熟知的线段中点坐标公式（公式2）。

解法二(解析法)：

在图1中构建一个平面直角坐标系，并将点B定位为坐标原点，据此，三角形ABC的三个顶点的具体坐标分别为：顶点A位于(8, 6)，顶点B位于(0, 0)，顶点C位于(16, 0)。

根据角平分线定理，点D将线段AC分割成比例λ为5:8的两部分，将此比例值代入图7中的公式进行计算，从而得出点D的具体坐标。

图9

计算AD和BD的值可以用下面的公式(1)和公式(2)：

图10

计算过程和结果如下：

图11

解法二实际上是一种综合性的方法高中数学解析几何公式，它结合了几何学的原理和解析几何学的知识。即便不借助几何定理，仅通过纯粹的解析方法也能解决问题，但这过程相对繁琐，并不建议采用。各位只需简单浏览，对这一方法有个基本认识即可。

问题图

按照图中所示建立坐标系，以B点作为坐标原点，借助复数的几何特性来推导直线BD的方程，进而求得直线AC的方程。将这两个方程组合起来求解，即可获得直线BD与AC相交点D的坐标。一旦图中所有点的坐标均被确定，便可通过图10中的公式计算出本题的答案。

将AB视为复数z₁，等于8+6i高中数学解析几何公式，并在角平分线AD上选取一点P，将AP视为复数z₁的平方根，记作z₂，即z₂=a+bi。根据复数乘法的几何含义，AP的平方等于AB，即AB=10，同时，复数z₁的主值辐角是复数z₂辐角的两倍。

z₁的平方根为3+i。对于初中同学来说，复数还未涉及，因此在此进行简要说明。-1的平方根存在两个值，分别是正负i，即i²等于-1，(-i)²也等于-1。而完全平方公式是一个恒等式，它在实数和复数领域都适用。

(3+i)的平方等于9加上6i再加上i的平方，由于i的平方等于-1，因此上述等式可以化简为8加上6i。由此可得点P的坐标是(3，1)，因此我们可以推导出直线AD的方程为。

图12

由于直线AD穿过了原点，因此它描绘的是一条正比例函数y=kx的曲线，且在y轴上的截距值为零。

接下来我们求直线AC的方程。

图13

通过待定系数法，我们可以求得直线方程。首先设定方程形式为y等于k乘以x加b，然后将已知的两个点的坐标分别代入，从而得到两个二元一次方程。接着，我们联立这两个方程进行求解，最终得到k和b的具体数值。这样，我们就能成功写出直线方程了。详细步骤请参考图13。

把两个直线方程联立求解就得到交点D的坐标了

图14

既然我们已经成功找到了点D的具体位置坐标，那么本问题的解答已经没有更多疑问。接下来的解题步骤可以省略不提。

本题目建议采用几何分析与综合策略。几何法不仅呈现出一种优雅的姿态，而且解题速度快捷，充满美感，别具一格。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。